Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan diferensial yang mengandung turunan total (satu variabel bebas) disebut persamaan diferensial biasa (PDB). Sebaliknya, persamaan diferensial yang mengandung turunan parsial dengan dua atau lebih variabel bebas disebut persamaan diferensial parsial (PDP).

Banyak persoalan fisika dan teknik yang melibatkan persamaan diferensial. Sebagai ilustrasi adalah sebagai berikut : Dalam bentuk vektor, Hukum II Newton dituliskan sebagai F = ma. Jika percepatan a dinyatakan sebagai dv/dt dengan v adalah kecepatan, atau d²r/dt² dengan r adalah vektor pergeseran. Sehingga Hukum II Newton berbentuk persamaan diferensial.

Ilustrasi persamaan diferensial yang lain, misalnya pada rangkaian seri RLC. Yaitu rangkaian seri yang terdiri dari hambatan R, kapasitor C dan induktansi L yang dihubungkan dengan sumber tegangan V. Jika arus yang mengalir melalui rangkaian pada saat t adalah I(t) dan muatan pada kapasitor adalah q(t) maka I=dq/dt. Tegangan pada ujung-ujung R, C dan L berturut-turut adalah RI, q/C, dan L(dI/dt). Dengan demikian pada saat t berlaku

dengan mendiferensialkan persamaan tersebut terhadap t dan mengingat I=dq/dt, diperoleh

                

Ini merupakan persamaan diferensial yang melibatkan turunan orde dua.

Solusi Persamaan Diferensial Biasa

Solusi persamaan diferensial dengan variabel bebas x dan variabel tak bebas y adalah suatu hubungan antara x dan y, yang bila disubstitusikan kedalam persamaan diferensial yang dipecahkan memberikan sebuah identitas.

Sebagai ilustrasi untuk solusi persamaan diferensial biasa adalah pada kasus gerak jatuh bebas. Akan ditentukan jarak tempuh benda yang mula-mula diam. Diandaikan y adalah jarak tempuh benda saat t, gerakan benda dipengaruhi oleh gravitasi bumi g sehingga

                                           (1)

                                                                                                      

Dengan mengintegralkan persamaan tersebut dua kali berturut-turut menghasilkan :

                                   (2)

Pada persamaan (2) diatas pengintegralan menghasilkan suatu konstanta C. Nilai konstanta ini diperoleh dengan memasukkan kondisi awal benda yaitu pada saat t = 0. Sehingga diperoleh C = v₀ maka

                                              (3)

Persamaan (3) diintegralkan sekali lagi menjadi

                                          (4)

         

Terdapat suatu konstanta C pada persamaan (4) diatas. Nilai konstanta ini diperoleh dengan menentukan posisi awal y₀ pda saat t = 0 sehingga persamaan (4) menjadi

                                           (5)

Persamaan (3) dan (5) merupakan penyelesaian umum dari persamaan (1), kerena penyelesaian umum persamaan diferensial linier orde dua akan menghasilkan dua tetapan sembarang. Apabila dicari penyelesaian khusus yaitu v₀ = 0 (benda mula-mula diam) dan y₀ = 0 (saat t = 0 jarak yang ditempu benda y = 0), maka diperoleh