a note about science: Hamiltonian

Hamiltonian adalah penjumlahan dari total energi kinetik dari seluruh partikel, serta energi potensial dari partikel-partikel yang berkaitan dengan sistem. Dalam mekanika quantum, operator hamiltonian menyatakan energi total untuk suatu sistem. Operator hamiltonian biasanya dinotasikan dengan H, atau Ȟ dan Ĥ.

Schrodinger Hamiltonian

Partikel Tunggal

Analogi dengan mekanika klasik, pada umumnya Hamiltonian diekspresikan sebagai penjumlahan operator energi kinetik dan potensial sebuah sistem, yang dinyatakan sebagai berikut

$\hat{H} = \hat{T} + \hat{V}$

dimana

$\hat{V} = V = V(\bold{r},t)$ (1)

adalah operator energi potensial.

$\hat{T} = \frac{\bold{\hat{p}}\cdot\bold{\hat{p}}}{2m} = \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2$ (2)

adalah operator energi kinetik, dimana m adalah massa partikel.

dan

$\hat{p} = -i\hbar\nabla$ adalah operator momentum, dimana ∇ adalah operator gradien. Dot product dari ∇ menghasilkan laplacian ∇², maka dalam koordinat kartesian 3 dimensi operator laplace menjadi

$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial y}^2} + \frac{\partial^2}{{\partial z}^2}$

Walaupun ini bukan definisi teknis dari Hamiltonian dalam mekanika klasik, bentuk inilah yang sering digunakan. Dengan mengkombinasikan (1) dan (2) maka dihasilkan persamaan yang dikenal dengan persamaaan schrodinger.

$\begin{align} \hat{H} & = \hat{T} + \hat{V} \\ & = \frac{\bold\hat{p}\cdot\bold\hat{p}}{2m}+ V(\mathbf{r},t) \\ & = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+ V(\mathbf{r},t) \end{align}$ (3)

persamaan (3) diatas menunjukkan bahwa Hamiltonian dapat diaplikasikan pada sistem yang dideskripsikan oleh fungsi gelombang . Ini adalah pendekatan yang umum dilakukan sebagai pengantar bagi mekanika quantum.

Partikel Jamak

Pada umumnya banyak partikel dinotasikan sebagai N partikel. Maka Hamiltonian untuk N partikel adalah :

$\hat{H} = \sum_{n=1}^N \hat{T}_n + V$

dimana

$V = V(\bold{r}_1,\bold{r}_2\cdots \bold{r}_N,t)$ (4)

adalah fungsi energi potensial yang merupakan konfigurasi sistem dan waktu, dan

$\hat{T}_n = \frac{\bold{p}_n\cdot\bold{p}_n}{2m_n}$ , $\nabla_n^2 = \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} + \frac{\partial^2}{\partial y_n^2} + \frac{\partial^2}{\partial z_n^2}$ (5)

adalah operator energi kinetik untuk n partikel. Adapun ∇_n adalah gradien untuk partikel ke n, dan ∇_n² adalah laplacian partikel dalam koordinat kartesian.

Mengkombinasikan persamaan (4) dan (5) menghasilkan persamaan Schrodinger Hamilton untuk N keadaan partikel

$\begin{align} \hat{H} & = \sum_{n=1}^N \hat{T}_n + V \\ & = \sum_{n=1}^N \frac{\bold\hat{p}_n\cdot\bold\hat{p}_n}{2m_n}+ V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots\mathbf{r}_N,t) \\ & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^N \frac{1}{m_n}\nabla_n^2 + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots\mathbf{r}_N,t) \end{align}$

Untuk partikel yang tidak saling berinteraksi dan bergerak bebas, maka potensial dari sistem dinyatakan sebagai separasi energi potensial setiap partikel, sehingga

$V = \sum_{i=1}^N V(\bold{r}_i,t) = V(\bold{r}_1,t) + V(\bold{r}_2,t) + \cdots + V(\bold{r}_N,t)$

maka bentuk Hamiltonian yang umum berdasarkan kondisi ini adalah

$\begin{align} \hat{H} & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{m_i}\nabla_i^2 + \sum_{i=1}^N V_i\\ & = \sum_{i=1}^{N}\left(-\frac{\hbar^2}{2m_i}\nabla_i^2 + V_i \right) \\ & = \sum_{i=1}^{N}\hat{H}_i \\ \end{align}$ (6)

Persamaan tersebut menyatakan keadaan ideal, pada kenyataanya partikel-partikel dipengaruhi oleh beberapa potensial dan terjadi banyak interaksi antar partikel. Sebagai ilustrasi dimana kondisi pada persamaan (6) diatas tidak berlaku adalah pada potensial elektrostastis. Partikel bermuatan akan berinteraksi dengan partikel lainnya sesuai dengan hukum Coulomb.

Elektrostatis

Energi potensial coulomb untuk muatan titik q₁ dan q₂ dinyatakan sebagai berikut

$V = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0 |\bold{r}|}$ (7)

persamaan (7) diatas hanya menyatakan potensial satu titik muatan berdasarkan muatan lainnya. Jika terdapat banyak partikel yang bermuatan, setiap partikel bermuatan memiliki energi potensial sendiri terhadap setiap partikel lain yang bermuatan. Untuk N buah muatan, energi potensial dari sebuah muatan q_j terhadap seluruh muatan lain adalah

$V_j = \frac{1}{2}\sum_{i\neq j} q_i \phi(\mathbf{r}_i)=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{i\neq j} \frac{q_iq_j}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|}$

diamana φ(r_i) adalah potensial elektrostatis q_j pada r_i. Potensial total dari sistem adalah penjumlahan pada seluruh poin j :

$V = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{j=1}^N\sum_{i\neq j} \frac{q_iq_j}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|}$

maka diperoleh Hamiltonian sebagai berikut :

$\begin{align}\hat{H} & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{j=1}^N\frac{1}{m_j}\nabla_j^2 + \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{j=1}^N\sum_{i\neq j} \frac{q_iq_j}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|} \\ & = \sum_{j=1}^N \left ( -\frac{\hbar^2}{2m_j}\nabla_j^2 + \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\sum_{i\neq j} \frac{q_iq_j}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|}\right) \\ \end{align}$

Dipol Listrik dalam Medan Listrik

Untuk momen dipol listrik d berdasarkan muatan sebesar q, dalam medan listrik E yang seragam (tidak gayut waktu), diperoleh potensial :

$V = -\bold{\hat{d}}\cdot\bold{E}$

ketika partikel muatan dalam keadaan diam maka tidak ada energi kinetik translasi pada dipol, maka Hamiltonian pada dipol berupa energi potensial

$\hat{H} = -\bold{\hat{d}}\cdot\bold{E} = -q\bold{E}\cdot\bold{\hat{r}}$

Dipol Magnet dalam Medan Magnet

Untuk momen dipol magnet μ yang diletakkan pada suatu titik dalam medan magnet B yang seragam (tidak gayut waktu) diperoleh potensial

$V = -\boldsymbol{\mu}\cdot\bold{B}$

ketika partikel dalam keadaan diam maka tidak ada energi kinetik translasi sehingga Hamiltonian dari dipole adalah energi potensial itu sendiri

$\hat{H} = -\boldsymbol{\mu}\cdot\bold{B}$

untuk partikel dengan Spin-½, maka momen magnetik spin adalah

$\boldsymbol{\mu}_S = \frac{g_s e}{2m} \bold{S}$

dimana g_s adalah spin rasio giromagnetik (spin g-faktor), e adalah muatan elektron, S adalah vektor dari operator spin yang komponennya berupa matrik Pauli. Sehingga diperoleh :

$\hat{H} = \frac{g_s e}{2m} \bold{S} \cdot\bold{B}$

sumber: http://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_(quantum_mechanics)

a note about science

Hamiltonian

Schrodinger Hamiltonian

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Admin