Latar Belakang
Pada studi kasus ini
disajikan tentang pendulum. Alasan dipilih pendulum karena kita sering
menjumpai pendulum dalam kehidupan sehari-hari. Terlebih lagi, sejak fisika
dikenalkan pada tingkat Sekolah Menengah, seakan-akan menjadi pokok bahasan
wajib untuk mempelajari tentang gerak harmonik sederhana, selain pegas. Hal ini
dilakukan karena pendulum merupakan suatu sistem fisis yang sederhana (bahkan
sangat sederhana) tetapi memiliki perilaku yang unik. Sehingga pendulum
merupakan salah satu alat yang sesuai untuk menjelaskan gerak harmonik
sederhana.
Terlihat garis vertikal abu-abu pada grafik energi dan waktu. Garis tersebut terletak pada $t=14,59$ detik, yang menunjukkan keadaan konstan (diam). Jadi dapat disimpulkan, secara teori kedua lengan A dan B diam selama $t=14,59$ detik sebelum mulai berayun.
Pada pembahasan kali
ini, Anda akan diajak untuk melihat pendulum dari sudut pandang yang sedikit
berbeda, yaitu sudut pandang “dunia taklinier”.
Anda juga akan mengetahui bagaimana pendulum menghasilkan gerakan yang
begitu unik. Mulai dari gerakan yang sederhana sampai gerakan yang rumit. Mulai
dari gerakan periodik, quasi periodik sampai chaotic. Dengan pendulum juga dapat dibuktian bahwa sistem dengan 1
derajat kebebasan tidak mungkin berperilaku chaotic.
Pendulum ganda merupakan penggabungan dari 2 buah pendulum tunggal. Bila pada pendulum tunggal terdapat sebuah batang silinder, maka pada pendulum ganda terdiri dari 2 buah batang silinder yang dirangkai seri. Salah satu ujung batang pertama terkait dengan poros, sedangkan ujung lainya terkait dengan batang kedua.
Model pendulum ganda ditunjukkan oleh Gambar 1 diatas. Kedua lengan A dan B berbentuk batang silinder padat dengan panjang dan massa masing-masing adalah $l_{1}$ dan $m_{1}$ untuk lengan A, serta $l_{2}$ dan $m_{2}$ untuk lengan B. Diandaikan lengan A memiliki pusat massa pada titik a dengan panjang tepat pada $\frac{l_{1}}{2}$, kemudian lengan B juga berpusat massa pada b dengan panjang $\frac{l_{2}}{2}$. Diandaikan pula sistem pendulum ganda tersebut berupa sistem tertutup, sehingga hanya gaya gravitasi g saja yang bekerja pada sistem, yaitu katakanlah $g=9,82\:\frac{m}{s^{2}}$.
Untuk menurunkan persamaan gerak, terlebih dahulu didefinisikan posisi setiap lengan. Posisi lengan A dinyatakan sebagai berikut:
\begin{equation}
x_{1}=\frac{l_{1}}{2}\sin\left(\theta_{1}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
y_{1}=-\frac{l_{1}}{2}\cos\left(\theta_{1}\right)
\end{equation}
Maka posisi lengan B adalah
\begin{equation}
x_{2}=l_{1}\sin\left(\theta_{1}\right)+\frac{l_{2}}{2}\sin\left(\theta_{2}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
y_{2}=-l_{1}\cos\left(\theta_{1}\right)-\frac{l_{2}}{2}\cos\left(\theta_{2}\right)
\end{equation}
Setelah mendefinisikan posisi untuk setiap lengan, langkah selanjutnya adalah melakukan analisis energi. Seperti telah disinggung, bahwa model dianggap tertutup / konservativ. Setelah salah satu lengan (baik A maupun B) diayunkan, model sistem hanya mendapatkan energi mekanis untuk mengayunkan kedua lengannya.
\begin{equation}
T_{1}=\frac{1}{2}I_{1}\dot{\theta}_{1}^{2}=\frac{1}{24}m_{1}l_{1}^{2}\dot{\theta}_{1}^{2}
\end{equation}
Lengan B membentuk sudut $\theta_{2}$ dengan momen inersia $I_{2}=\left(1/12\right)m_{2}l_{2}^{2}$ memiliki energi kinetik rotasi dan translasi ketika berayun. Adapun energi kinetik translasi pada B sebesar $\left(1/2\right)m_{2}v_{2}^{2}$, dengan $v_{2}^{2}=\left(\dot{x}_{2}^{2}+\dot{y}_{2}^{2}\right)$. Turunan posisi $x_{i}$ dan $y_{i}$ dengan $i=1,2$ dinyatakan oleh notasi $\dot{x}_{i}$ dan $\dot{y}_{i}$ (diturunkan dari persamaan 1 sampai 4). Sehingga energi kinetik yang bekerja pada lengan B adalah
\begin{equation}
T_{2}=\frac{1}{2}I_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\left(\dot{x}_{2}^{2}+\dot{y}_{2}^{2}\right)
\end{equation}
Energi kinetik total yang bekerja pada pendulum ganda diperoleh dengan menjumlahkan komponen energi kinetik dari setiap lengan A dan B, sehingga diperoleh
\begin{equation}
T_{total}=T_{1}+T_{2}=\frac{1}{24}\left(l_{1}^{2}\left(m_{1}+12m_{2}\right)\dot{\theta}_{1}^{2}+4l_{2}^{2}m_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}+12l_{1}l_{2}m_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right)
\end{equation}
\begin{align*}
V_{total} & =V_{1}+V_{2}=m_{1}gy_{1}+m_{2}gy_{2}
\end{align*}
maka diperoleh
\begin{equation}
V_{total}=-m_{1}g\frac{l_{1}}{2}\cos\left(\theta_{1}\right)-m_{2}g\left(l_{1}\cos\left(\theta_{1}\right)+\frac{l_{2}}{2}\cos\left(\theta_{2}\right)\right)
\end{equation}
Notasi $g$ adalah percepatan gravitasi bumi, misalkan dapat diambil nilai $g=9,82\:\frac{m}{s^{2}}$.
\begin{equation}
L=\frac{1}{24}\left(l_{1}^{2}\left(m_{1}+12m_{2}\right)\dot{\theta}_{1}^{2}+4l_{2}^{2}m_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}+12l_{1}l_{2}m_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right)+m_{1}g\frac{l_{1}}{2}\cos\left(\theta_{1}\right)+m_{2}g\left(l_{1}\cos\left(\theta_{1}\right)+\frac{l_{2}}{2}\cos\left(\theta_{2}\right)\right)
\end{equation}
\begin{equation}
\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_{i}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial\theta_{i}}=0
\end{equation}
notasi $i$ menyatakan indeks untuk setiap lengan pendulum, yaitu 1 untuk lengan A dan 2 untuk lengan B. Maka substitusi Lagrangian (9) pada (10) akan menghasilkan persamaan gerak berikut
\begin{equation}
\begin{array}{cc}
13\dfrac{d^{2}\theta_{1}}{dt^{2}}+6\dfrac{d^{2}\theta_{2}}{dt^{2}}\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+6\left(\dfrac{d\theta_{2}}{dt}\right)^{2}\sin\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\dfrac{18g\sin\left(\theta_{1}\right)}{l} & =0\\
2\dfrac{d^{2}\theta_{2}}{dt^{2}}+3\dfrac{d^{2}\theta_{1}}{dt^{2}}\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)-3\left(\dfrac{d\theta_{1}}{dt}\right)^{2}\sin\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\dfrac{3g\sin\left(\theta_{2}\right)}{l} & =0
\end{array}
\end{equation}
Terihat pada persamaan (11), bahwa persamaan gerak pendulum ganda tidak terkait secara langsung dengan massa setiap lengan A dan B, tetapi terkait langsung dengan panjang lengan A dan B. Dengan kata lain pergerakan setiap lengan A dan B dipengaruhi oleh panjang setiap lengannya.
Persamaan gerak pendulum ganda (11) berbentuk persamaan diferensial biasa orde 2. Bila solusi persamaan gerak menjadi tujuan utama, maka persamaan gerak tersebut dapat dimanipulasi sehingga berbentuk persamaan diferensial orde 1. Mengingat persamaan dalam bentuk orde 1 lebih mudah diselesaikan daripada bentuk orde 2 atau orde lain yang lebih tinggi.
Diandaikan $\theta_{i}=u_{i}$ dengan $i=1,2$ yang tidak lain adalah indeks untuk setiap lengan A dan B. Maka turunan pertama $\theta_{i}$ terhadap waktu adalah $\frac{d\theta_{i}}{dt}=\frac{du_{i}}{dt}=u_{i+2}$. Turunan kedua $\theta_{i}$ terhadap waktu adalah $\frac{d^{2}\theta_{i}}{dt^{2}}=\frac{d^{2}u_{i}}{dt^{2}}=\frac{du_{i+2}}{dt}$, maka persamaan (10) dapat ditulis sebagai berikut
\begin{equation}
\begin{alignedat}{1}\dfrac{du_{1}}{dt}= & u_{3}\\
\dfrac{du_{2}}{dt}= & u_{4}\\
\dfrac{du_{3}}{dt}= & \dfrac{9g\left(3\sin u_{1}+\sin\left(u_{1}-2u_{2}\right)\right)+6l\sin\left(u_{1}-u_{2}\right)\left(2u_{4}^{2}+3u_{3}^{2}\cos\left(u_{1}-u_{2}\right)\right)}{l\left(9\cos\left(2\left(u_{1}-u_{2}\right)\right)-17\right)}\\
\dfrac{du_{4}}{dt}= & \dfrac{3\left(9g\sin\left(2u_{1}-u_{2}\right)-4g\sin u_{2}+13lu_{3}^{2}\sin\left(u_{1}-u_{2}\right)+3lu_{4}^{2}\sin\left(2\left(u_{1}-u_{2}\right)\right)\right)}{l\left(17-9\cos\left(2\left(u_{1}-u_{2}\right)\right)\right)}
\end{alignedat}
\end{equation}
Berikut adalah visualisasi solusi persamaan gerak dengan kondisi awal $\left(\theta_{1},\theta_{2}\right)=\left(\pi,0\right)$ untuk $0\leq t\leq50$. Adapun posisi kondisi awal lengan pendulum dapat digambarkan sebagai berikut
Posisi lengan A yaitu tegak lurus vertikal ke atas, sedangan lengan B vertikal tegak lurus ke bawah. Posisi ini dipilih karena merupakan salah satu titik keseimbangan sistem pendulum ganda.
Model Pendulum Ganda
Pendulum ganda merupakan penggabungan dari 2 buah pendulum tunggal. Bila pada pendulum tunggal terdapat sebuah batang silinder, maka pada pendulum ganda terdiri dari 2 buah batang silinder yang dirangkai seri. Salah satu ujung batang pertama terkait dengan poros, sedangkan ujung lainya terkait dengan batang kedua.
 |
| Gambar 1. Model sistem pendulum ganda |
Model pendulum ganda ditunjukkan oleh Gambar 1 diatas. Kedua lengan A dan B berbentuk batang silinder padat dengan panjang dan massa masing-masing adalah $l_{1}$ dan $m_{1}$ untuk lengan A, serta $l_{2}$ dan $m_{2}$ untuk lengan B. Diandaikan lengan A memiliki pusat massa pada titik a dengan panjang tepat pada $\frac{l_{1}}{2}$, kemudian lengan B juga berpusat massa pada b dengan panjang $\frac{l_{2}}{2}$. Diandaikan pula sistem pendulum ganda tersebut berupa sistem tertutup, sehingga hanya gaya gravitasi g saja yang bekerja pada sistem, yaitu katakanlah $g=9,82\:\frac{m}{s^{2}}$.
Untuk menurunkan persamaan gerak, terlebih dahulu didefinisikan posisi setiap lengan. Posisi lengan A dinyatakan sebagai berikut:
\begin{equation}
x_{1}=\frac{l_{1}}{2}\sin\left(\theta_{1}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
y_{1}=-\frac{l_{1}}{2}\cos\left(\theta_{1}\right)
\end{equation}
Maka posisi lengan B adalah
\begin{equation}
x_{2}=l_{1}\sin\left(\theta_{1}\right)+\frac{l_{2}}{2}\sin\left(\theta_{2}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
y_{2}=-l_{1}\cos\left(\theta_{1}\right)-\frac{l_{2}}{2}\cos\left(\theta_{2}\right)
\end{equation}
Setelah mendefinisikan posisi untuk setiap lengan, langkah selanjutnya adalah melakukan analisis energi. Seperti telah disinggung, bahwa model dianggap tertutup / konservativ. Setelah salah satu lengan (baik A maupun B) diayunkan, model sistem hanya mendapatkan energi mekanis untuk mengayunkan kedua lengannya.
Energi Kinetik
Lengan A berupa batang silinder padat, sehingga memiliki momen inersia sebesar $I_{1}=\left(1/12\right)m_{1}l_{1}^{2}$, dan ujung lengan tersebut terkait dengan poros acuan (titik 0) sehingga energi kinetiknya adalah energi kinetik rotasi. Bila sudut yang dibentuk A adalah $\theta_{1}$, maka energi kinetik yang dialami oleh lengan A adalah\begin{equation}
T_{1}=\frac{1}{2}I_{1}\dot{\theta}_{1}^{2}=\frac{1}{24}m_{1}l_{1}^{2}\dot{\theta}_{1}^{2}
\end{equation}
Lengan B membentuk sudut $\theta_{2}$ dengan momen inersia $I_{2}=\left(1/12\right)m_{2}l_{2}^{2}$ memiliki energi kinetik rotasi dan translasi ketika berayun. Adapun energi kinetik translasi pada B sebesar $\left(1/2\right)m_{2}v_{2}^{2}$, dengan $v_{2}^{2}=\left(\dot{x}_{2}^{2}+\dot{y}_{2}^{2}\right)$. Turunan posisi $x_{i}$ dan $y_{i}$ dengan $i=1,2$ dinyatakan oleh notasi $\dot{x}_{i}$ dan $\dot{y}_{i}$ (diturunkan dari persamaan 1 sampai 4). Sehingga energi kinetik yang bekerja pada lengan B adalah
\begin{equation}
T_{2}=\frac{1}{2}I_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\left(\dot{x}_{2}^{2}+\dot{y}_{2}^{2}\right)
\end{equation}
Energi kinetik total yang bekerja pada pendulum ganda diperoleh dengan menjumlahkan komponen energi kinetik dari setiap lengan A dan B, sehingga diperoleh
\begin{equation}
T_{total}=T_{1}+T_{2}=\frac{1}{24}\left(l_{1}^{2}\left(m_{1}+12m_{2}\right)\dot{\theta}_{1}^{2}+4l_{2}^{2}m_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}+12l_{1}l_{2}m_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right)
\end{equation}
Energi Potensial
Energi potensial yang bekerja pada lengan A adalah $V_{1}=m_{1}gh_{1}$, sedangkan pada lengan B adalah $V_{2}=m_{2}gh_{2}$. Dalam hal ini $h_{1}=y_{1}$ dan $h_{2}=y_{2}$ sesuai dengan persamaan (1.2) dan (1.4) . Sehingga energi kinetik total yang bekerja pada pendulum ganda adalah\begin{align*}
V_{total} & =V_{1}+V_{2}=m_{1}gy_{1}+m_{2}gy_{2}
\end{align*}
maka diperoleh
\begin{equation}
V_{total}=-m_{1}g\frac{l_{1}}{2}\cos\left(\theta_{1}\right)-m_{2}g\left(l_{1}\cos\left(\theta_{1}\right)+\frac{l_{2}}{2}\cos\left(\theta_{2}\right)\right)
\end{equation}
Notasi $g$ adalah percepatan gravitasi bumi, misalkan dapat diambil nilai $g=9,82\:\frac{m}{s^{2}}$.
Lagrangian
Lagrangian pada pendulum ganda adalah $L=T_{total}-V_{total}$. Dengan menjumlahkan energi kinetik total (7) dan energi potensial total (8), diperoleh Lagrangian sebagai berikut\begin{equation}
L=\frac{1}{24}\left(l_{1}^{2}\left(m_{1}+12m_{2}\right)\dot{\theta}_{1}^{2}+4l_{2}^{2}m_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}+12l_{1}l_{2}m_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right)+m_{1}g\frac{l_{1}}{2}\cos\left(\theta_{1}\right)+m_{2}g\left(l_{1}\cos\left(\theta_{1}\right)+\frac{l_{2}}{2}\cos\left(\theta_{2}\right)\right)
\end{equation}
Persamaan Gerak
Dengan persamaan Euler-Lagrange\begin{equation}
\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_{i}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial\theta_{i}}=0
\end{equation}
notasi $i$ menyatakan indeks untuk setiap lengan pendulum, yaitu 1 untuk lengan A dan 2 untuk lengan B. Maka substitusi Lagrangian (9) pada (10) akan menghasilkan persamaan gerak berikut
\begin{equation}
\begin{array}{cc}
13\dfrac{d^{2}\theta_{1}}{dt^{2}}+6\dfrac{d^{2}\theta_{2}}{dt^{2}}\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+6\left(\dfrac{d\theta_{2}}{dt}\right)^{2}\sin\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\dfrac{18g\sin\left(\theta_{1}\right)}{l} & =0\\
2\dfrac{d^{2}\theta_{2}}{dt^{2}}+3\dfrac{d^{2}\theta_{1}}{dt^{2}}\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)-3\left(\dfrac{d\theta_{1}}{dt}\right)^{2}\sin\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\dfrac{3g\sin\left(\theta_{2}\right)}{l} & =0
\end{array}
\end{equation}
Terihat pada persamaan (11), bahwa persamaan gerak pendulum ganda tidak terkait secara langsung dengan massa setiap lengan A dan B, tetapi terkait langsung dengan panjang lengan A dan B. Dengan kata lain pergerakan setiap lengan A dan B dipengaruhi oleh panjang setiap lengannya.
Persamaan gerak pendulum ganda (11) berbentuk persamaan diferensial biasa orde 2. Bila solusi persamaan gerak menjadi tujuan utama, maka persamaan gerak tersebut dapat dimanipulasi sehingga berbentuk persamaan diferensial orde 1. Mengingat persamaan dalam bentuk orde 1 lebih mudah diselesaikan daripada bentuk orde 2 atau orde lain yang lebih tinggi.
Diandaikan $\theta_{i}=u_{i}$ dengan $i=1,2$ yang tidak lain adalah indeks untuk setiap lengan A dan B. Maka turunan pertama $\theta_{i}$ terhadap waktu adalah $\frac{d\theta_{i}}{dt}=\frac{du_{i}}{dt}=u_{i+2}$. Turunan kedua $\theta_{i}$ terhadap waktu adalah $\frac{d^{2}\theta_{i}}{dt^{2}}=\frac{d^{2}u_{i}}{dt^{2}}=\frac{du_{i+2}}{dt}$, maka persamaan (10) dapat ditulis sebagai berikut
\begin{equation}
\begin{alignedat}{1}\dfrac{du_{1}}{dt}= & u_{3}\\
\dfrac{du_{2}}{dt}= & u_{4}\\
\dfrac{du_{3}}{dt}= & \dfrac{9g\left(3\sin u_{1}+\sin\left(u_{1}-2u_{2}\right)\right)+6l\sin\left(u_{1}-u_{2}\right)\left(2u_{4}^{2}+3u_{3}^{2}\cos\left(u_{1}-u_{2}\right)\right)}{l\left(9\cos\left(2\left(u_{1}-u_{2}\right)\right)-17\right)}\\
\dfrac{du_{4}}{dt}= & \dfrac{3\left(9g\sin\left(2u_{1}-u_{2}\right)-4g\sin u_{2}+13lu_{3}^{2}\sin\left(u_{1}-u_{2}\right)+3lu_{4}^{2}\sin\left(2\left(u_{1}-u_{2}\right)\right)\right)}{l\left(17-9\cos\left(2\left(u_{1}-u_{2}\right)\right)\right)}
\end{alignedat}
\end{equation}
Solusi Persamaan Gerak
Solusi persamaan gerak yang dipilih adalah metode $\textbf{Runge-Kutta eksplisit}$.Pemilihan metode ini, dikarenakan memiliki akurasi yang lebih baik (daripada misalnya bila menggunakan metode Runge-Kutta orde 4). Berdasarkan pengalaman penulis, bila digunakan Runge-Kutta orde 4, pada masukan kondisi awal tertentu diperoleh solusi yang singular (yaitu $\textit{stepsize}$ menjadi 0). Dalam artian pada kondisi awal tertentu tidak diperoleh solusi persamaan gerak pendulum ganda. Tetapi dengan metode Runge-Kutta eksplisit, kondisi tersebut dapat sedikit diperbaiki.Berikut adalah visualisasi solusi persamaan gerak dengan kondisi awal $\left(\theta_{1},\theta_{2}\right)=\left(\pi,0\right)$ untuk $0\leq t\leq50$. Adapun posisi kondisi awal lengan pendulum dapat digambarkan sebagai berikut
 |
| Posisi awal lengan A dan B sebelum mulai berayun |
Energi
 |
Diagram Waktu
 |
| Lengan pertama A |
 |
| Lengan kedua B |
Fase
 |
| Lengan pertama A |
 |
| Lengan kedua B |
Lintasan pusat massa kedua lengan A dan B
